Скрябин родился в семье дипломата Н. А. Скрябина. Мать композитора Л. П. Скрябина (урожденная Щетинина) была талантливой пианисткой, учившейся у Теодора Лешетицкого. После её ранней смерти Скрябина взяла на воспитание тётка, так как отец не мог уделять сыну достаточно времени. Уже в пять лет Скрябин умел играть на фортепиано, позже проявил интерес к композиции, однако по семейной традиции (род Скрябиных восходил к XIII веку и насчитывал большое количество военных) был отдан в кадетский корпус. Решив посвятить себя музыке, Скрябин начал брать частные уроки у Георгия Конюса, затем также у Николая Зверева (фортепиано) и Сергея Танеева (теория музыки).
Окончив корпус, Скрябин поступил в Московскую консерваторию в классы фортепиано Василия Сафонова и композиции Антона Аренского. Занятия с Аренским не принесли результатов, и в 1891 Скрябин был отчислен из класса композиции за неуспеваемость, тем не менее, блестяще окончив курс по фортепиано год спустя с Малой золотой медалью.
По окончании консерватории Скрябин хотел связать свою жизнь с карьерой концертирующего пианиста, но в 1894 году переиграл правую руку и в течение некоторого времени не мог выступать. В августе 1897 года в Варваринской Церкви (в Нижнем Новгороде) Скрябин обвенчался с молодой талантливой пианисткой В. И. Исакович. Восстановив работоспособность руки, Скрябин с супругой уехал за границу, где зарабатывал на жизнь, исполняя преимущественно собственные сочинения. Скрябины вернулись в Россию в 1898 году.
В сентябре 1898 Скрябин был приглашён на должность профессора Московской консерватории, а в 1901 году начал преподавание в женском Екатерининском институте, однако в 1902 году он оставляет преподавательскую деятельность, так как она сильно отвлекала его от собственного творчества. В конце 1902 года Скрябин знакомится со второй женой (официально они расписаны не были) Т. Ф. Шлёцер, которая была племянницей П. Ю. Шлёцера, профессора Московской консерватории (по классу которого обучалась супруга композитора В. И. Исакович). Уже в следующем году Скрябин просит согласие на развод у супруги, однако не получает его.
До 1910 Скрябин вновь больше времени проводит за рубежом (в основном, во Франции), где выступает как пианист и дирижёр. Вернувшись в Москву, музыкант продолжает концертную деятельность, не переставая сочинять. Последние концерты Скрябина состоялись в начале 1915 года.
Композитор умер от сепсиса, возникшего в результате карбункула. Похоронен на Новодевичьем кладбище.
