Рекорд з чистого аркуша: папір здається 12 разів

Нам так і не вдалося знайти першоджерело цього широко поширеного повір'я: жоден аркуш паперу не можна скласти вдвічі більше семи (за деякими даними - восьми) разів. Тим часом поточний рекорд складання - 12 разів. І що найдивніше, належить він дівчині, математично обгрунтувати цю "загадку паперового аркуша".

Зрозуміло, ми говоримо про папері реальної, що має кінцеву, а не нульову, товщину. Якщо складати її акуратно і до кінця, виключаючи розриви (це дуже важливо), то "відмову" складатися вдвічі виявляється, зазвичай, вже після шостого разу. Рідше - сьомого. Спробуйте зробити це з листком із зошита.

І, як не дивно, від розмірів листа і його товщини обмеження мало залежить. Тобто, просто так взяти тонкий лист побільше, та й скласти його удвічі, раз допустимо 30 або хоча б 15 - не виходить, як не бийся.

У популярних добірках, типу "А чи знаєте ви що ..." або "Дивне поруч", факт цей - що ось більше саме 8 раз скласти папір не можна - до цих пір можна знайти дуже в багатьох місцях, в Мережі і поза. Але факт це?

Давайте міркувати. Кожне додавання подвоює товщину стоси. Якщо товщину паперу прийняти рівною 0,1 міліметра (розмір листа ми зараз не розглядаємо), то складання її вдвічі "всього" 51 раз дасть товщину складеної пачки в 226 мільйонів кілометрів. Що вже очевидний абсурд.

Світова рекордсменка Брітні Гелліван і паперова стрічка, складена вдвічі (в одному напрямку) 11 раз (фото з сайту mathworld.wolfram.com).

Здається, тут-то ми починаємо розуміти, звідки береться відоме багатьом обмеження на 7 або 8 разів (ще раз - папір у нас реальна, вона не тягнеться до нескінченності і не рветься, а порветься - це вже не складання). І все ж ...

У 2001 році одна американська школярка вирішила впритул зайнятися проблемою подвійного складання, а вийшло з цього ціле наукове дослідження, та ще й світовий рекорд.

Власне, почалося все з виклику, кинутого педагогом учням: "А от спробуйте скласти хоч що-небудь навпіл 12 раз!". Мовляв, переконайтеся, що це з розряду абсолютно неможливого.

Брітні Гелліван (Britney Gallivan) (зауважимо, зараз вона вже студентка) спочатку відреагувала як Аліса Льюїса Керролла: "Марно і пробувати". Але ж говорила Алісі Корольова: "Наважуся сказати, що у вас не було великою практики".

Ось Гелліван і зайнялася практикою. Порядком намучившись з різними предметами, вона склала-таки лист золотої фольги вдвічі 12 разів, ніж осоромила свого викладача.

Приклад складання аркуша вдвічі чотири рази. Пунктир - попереднє положення триразового складання. Букви показують, що точки на поверхні листа зміщуються (тобто, листи ковзають один щодо одного), і займають в результаті не те становище, як може здатися при побіжному погляді (ілюстрація з сайту pomonahistorical.org).

На цьому дівчина не заспокоїлася. У грудні 2001 року вона створила математичну теорію (ну, або математичне обгрунтування) процесу подвійного складання, а в січні 2002 року виконала 12-кратне складання навпіл з папером, використовуючи ряд правил і кілька напрямків складання (для любителів математики, трохи докладніше - тут ) .

Брітні помітила, що до цієї проблеми раніше вже зверталися математики, але правильного і перевіреного практикою вирішення завдання ще ніхто не надавав.

Гелліван стала першою людиною, яка правильно зрозумів і обгрунтував причину обмежень на додавання. Вона вивчила накопичуються при складанні реального листа ефекти і "втрату" папери (та й будь-якого іншого матеріалу) на сам згин. Вона отримала рівняння для межі складання, для будь-яких вихідних параметрів аркуша. Ось вони.

Перше рівняння відноситься до складання смуги тільки в одному напрямку. L - мінімально можлива довжина матеріалу, t - товщина листа, і n - число виконаних згинів в два рази. Зрозуміло, L і t повинні бути виражені в одних і тих же одиницях.

Гелліван та її рекорд (фото з сайту pomonahistorical.org).

У другому рівнянні йдеться про складанні в різних, змінних, направлених (але все одно - удвічі кожен раз). Тут W - ширина квадратного аркуша. Точне рівняння для складання в "альтернативних" напрямках - більш складне, але тут наводиться форма, що дає дуже близький до реальності результат.

Для паперу, яка не є квадратом, вищезгадане рівняння все ще дає вельми точний межа. Якщо папір, скажімо, має пропорції 2 до 1 (по довжині і ширині), легко зміркувати, що потрібно скласти її один раз і "привести" до квадрата подвійної товщини, а потім скористатися вищезгаданої формулою, подумки тримаючи в розумі одне зайве складання.

У своїй роботі школярка визначила суворі правила подвійного складання. Наприклад, у листа, який згорнуть n раз, 2 n унікальних шарів зобов'язані лежати підряд на одній лінії. Секції листа, що не задовольняють цьому критерію, не можуть вважатися як частина згорнутої пачки.

Так ось Брітні і стала першою у світі людиною, що склали аркуш паперу вдвічі 9, 10, 11 і 12 разів. Можна сказати, не без допомоги математики.